当联立圆锥曲线方程与直线方程时，如何通过已知的x1+x2和x1x2直接推导出对应的y1+y2和y1y2？

问题描述

精选答案

这一过程是否需要额外引入参数或方程？能否通过代数运算直接关联x与y的对称表达式？

核心推导逻辑

1. 直线方程代入法
   设直线方程为$y=kx+b$，联立圆锥曲线方程后，消元得到关于$x$的二次方程：

   $$Ax^2+Bx+C=0$$

   其中$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$，$x_1x_2=\frac{C}{A}$。

2. 通过直线方程关联$y$的表达式
   由于$y_1=kx_1+b$，$y_2=kx_2+b$，可得：

   $$y_1+y_2=k(x_1+x_2)+2b$$ $$y_1y_2=(kx_1+b)(kx_2+b)=k^2x_1x_2+kb(x_1+x_2)+b^2$$

3. 代入已知$x_1+x_2$和$x_1x_2$
   将$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$和$x_1x_2=\frac{C}{A}$代入上式：

   $$y_1+y_2=-\frac{Bk}{A}+2b$$ $$y_1y_2=\frac{Ck^2}{A}-\frac{Bkb}{A}+b^2$$

关键公式总结

目标表达式	推导公式
$y_1+y_2$	$k(x_1+x_2)+2b$
$y_1y_2$	$k^2x_1x_2+kb(x_1+x_2)+b^2$

注意事项

• 参数依赖性：结果依赖于直线方程的斜率$k$和截距$b$，需确保联立方程时参数正确。
• 圆锥曲线类型：若圆锥曲线为抛物线（如$y^2=4ax$），联立后可能需调整变量消元顺序。
• 几何意义：$y_1+y_2$和$y_1y_2$反映了直线与曲线交点的对称性，可用于求中点坐标或弦长计算。

通过上述步骤，可直接由$x_1+x_2$和$x_1x_2$推导出$y$的对称表达式，无需额外参数。