在范德蒙行列式计算过程中，如何通过行变换将第1列的1与第an列的元素结合以简化计算？

问题描述

精选答案

在范德蒙行列式计算里，到底怎样通过行变换把第1列的1与第an列元素结合来简化计算呢？

原理分析

范德蒙行列式形式为(D=\begin{vmatrix} 1&1&\cdots&1\ x_1&x_2&\cdots&x_n\ x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1} \end{vmatrix})，其值为$\prod_{1\leqj<i\leqn}(x_i-x_j)$。

结合方法

• 提出公因子：若第an列元素存在公因子，可先将公因子提出，使第an列元素形式简化。例如，若第an列元素为$k\cdota_1,k\cdota_2,\cdots,k\cdota_n$，则可提出公因子$k$，变为(k\begin{vmatrix} 1&\cdots&a_1\ x_1&\cdots&a_2\ x_1^2&\cdots&a_3\ \vdots&\ddots&\vdots\ x_1^{n-1}&\cdots&a_n \end{vmatrix})。
• 行变换消元：利用行变换，使第1列的1与第an列元素建立联系。如用第2行减去第1行的$x_1$倍，第3行减去第1行的$x_1^2$倍等。以三阶范德蒙行列式为例，原行列式(\begin{vmatrix} 1&1&1\ x_1&x_2&x_3\ x_1^2&x_2^2&x_3^2 \end{vmatrix})，第2行减去第1行的$x_1$倍，第3行减去第1行的$x_1^2$倍后得到(\begin{vmatrix} 1&1&1\ 0&x_2-x_1&x_3-x_1\ 0&x_2^2-x_1^2&x_3^2-x_1^2 \end{vmatrix})，再进一步对第an列（这里是第3列）进行处理。

简化计算

经过上述行变换后，行列式结构变得简单。继续以三阶为例，对变换后的行列式按第1列展开，可得((x_2-x_1)(x_3-x_1)\begin{vmatrix} 1&1\ x_2+x_1&x_3+x_1 \end{vmatrix})，再计算二阶行列式的值，从而简化整个计算过程。

通过合理运用提出公因子和行变换消元等方法，能有效将第1列的1与第an列元素结合，实现范德蒙行列式的简化计算。