对勾函数的单调性在参数a和b符号相反时会如何变化？

问题描述

精选答案

对勾函数一般形式为y=ax+b/x（a≠0，b≠0），那参数a和b符号相反时，对勾函数的单调性究竟会怎样变化呢？

情况一：a>0，b<0

• 定义域：函数y=ax+b/x的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)。
• 求导分析：对函数求导可得y'=a-b/x2。因为a>0，b<0，所以-b>0，那么对于任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞)，都有y'=a-b/x2>0。
• 单调性结论：这表明函数在(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调递增的。例如当a=1，b=-1时，函数y=x-1/x，在区间(-∞,0)内，随着x的增大，y的值不断增大；在区间(0,+∞)内，同样随着x的增大，y的值也不断增大。

情况二：a<0，b>0

• 定义域：依然是(-∞,0)∪(0,+∞)。
• 求导分析：求导后y'=a-b/x2，由于a<0，b>0，所以对于任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞)，y'=a-b/x2<0。
• 单调性结论：这意味着函数在(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调递减的。比如当a=-1，b=1时，函数y=-x+1/x，在区间(-∞,0)内，随着x的增大，y的值不断减小；在区间(0,+∞)内，随着x的增大，y的值同样不断减小。

综上所述，当参数a和b符号相反时，若a>0，b<0，对勾函数在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增；若a<0，b>0，对勾函数在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减。