如何通过函数的基本性质判断其曲线的对称性和周期性？

问题描述

精选答案

怎样利用函数基本性质去判断其曲线的对称性与周期性呢？

函数曲线对称性的判断

1.偶函数性质判断轴对称

若函数$f(x)$满足$f(x)=f(-x)$，则函数$f(x)$的图象关于$y$轴对称。例如$f(x)=x^{2}$，对于任意$x$，都有$f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x)$，所以$y=x^{2}$的图象关于$y$轴对称。

2.一般轴对称判断

若函数$f(x)$满足$f(a+x)=f(a-x)$，则函数$f(x)$的图象关于直线$x=a$对称。比如$f(x)=(x-2)^{2}$，$f(2+x)=(2+x-2)^{2}=x^{2}$，$f(2-x)=(2-x-2)^{2}=x^{2}$，即$f(2+x)=f(2-x)$，所以$y=(x-2)^{2}$的图象关于直线$x=2$对称。

3.奇函数性质判断中心对称

若函数$f(x)$满足$f(-x)=-f(x)$，则函数$f(x)$的图象关于原点$(0,0)$对称。例如$f(x)=x^{3}$，$f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)$，所以$y=x^{3}$的图象关于原点对称。

4.一般中心对称判断

若函数$f(x)$满足$f(a+x)+f(a-x)=2b$，则函数$f(x)$的图象关于点$(a,b)$对称。例如$f(x)=2x-4$，$f(1+x)=2(1+x)-4=2x-2$，$f(1-x)=2(1-x)-4=-2x-2$，$f(1+x)+f(1-x)=(2x-2)+(-2x-2)=-4$，可看作$b=-2$，$a=1$，所以$y=2x-4$的图象关于点$(1,-2)$对称。

函数曲线周期性的判断

1.周期函数定义判断

若存在非零常数$T$，使得对于函数定义域内的任意$x$，都有$f(x+T)=f(x)$，则函数$f(x)$是周期函数，$T$为函数的一个周期。例如$f(x)=\sinx$，$\sin(x+2\pi)=\sinx$，所以$y=\sinx$是周期函数，$2\pi$是它的一个周期。

2.变形周期判断

若$f(x+a)=-f(x)$（$a\neq0$），则$f(x+2a)=f=-f(x+a)=f(x)$，所以函数$f(x)$的周期是$2a$。例如$f(x)$满足$f(x+3)=-f(x)$，则$f(x)$的周期$T=6$。

通过对函数基本性质的灵活运用，就可以较为准确地判断函数曲线的对称性和周期性。