当二次函数的两点式与x轴交于不同区间时，如何判断方程根的情况？

问题描述

精选答案

当二次函数的两点式与x轴交于不同区间时，怎样去判断方程根的情况呢？

二次函数两点式的基本形式

二次函数的两点式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，其中$x_1$和$x_2$是函数与$x$轴交点的横坐标，也就是方程$a(x-x_1)(x-x_2)=0$的两个根。

判断方程根情况的方法

1.利用判别式

对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（由两点式展开可得），判别式$\Delta=b^2-4ac$。

判别式情况	根的情况
$\Delta>0$	方程有两个不同的实数根，对应二次函数与$x$轴有两个不同交点
$\Delta=0$	方程有两个相同的实数根，对应二次函数与$x$轴有一个交点
$\Delta<0$	方程没有实数根，对应二次函数与$x$轴无交点

2.根据区间端点函数值的正负

假设二次函数$y=a(x-x_1)(x-x_2)$与$x$轴的交点分别在区间$(m,n)$和$(p,q)$内。

• 若$a>0$，且$f(m)$与$f(n)$异号，即$f(m)f(n)<0$，则在区间$(m,n)$内必有一个根。
• 同理，若$f(p)$与$f(q)$异号，即$f(p)f(q)<0$，则在区间$(p,q)$内必有一个根。

3.对称轴位置

二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。

• 如果已知两个交点所在的大致区间，可通过对称轴是否在两个区间之间等位置关系，辅助判断根的分布情况。例如，若两个区间分别在对称轴两侧，且满足上述端点函数值的条件，可进一步确定根的存在性。