可乐陪鸡翅
在三次方程求解过程中，若已知两根之和为5，如何利用三次韦达定理建立关于第三根的方程？ 在三次方程求解过程中，若已知两根之和为5，如何利用三次韦达定理建立关于第三根的方程？当面对一个三次方程且明确其中两根相加结果为5时，怎样借助三次韦达定理来构建出与第三根相关的方程呢？
在数学学习里，三次方程求解是不少同学会遇到的难题。尤其是当我们只知道方程两根之和，却要去推导第三根信息时，很多人会感到无从下手。这时候，三次韦达定理就像是一把钥匙，能帮我们打开解题思路的大门。那到底该如何利用它建立关于第三根的方程呢？
认识三次韦达定理
三次韦达定理其实是二次韦达定理的拓展。对于一般的一元三次方程$ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0$（$a eq0$），假设它的三个根分别为$x_1$、$x_2$、$x_3$。通过多项式的因式分解和系数关系推导，能得到以下重要结论： - $x_1 + x_2 + x_3 =- rac{b}{a}$ - $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = rac{c}{a}$ - $x_1x_2x_3 =- rac{d}{a}$
从这些公式能看出，方程的系数和根之间有着紧密的对应关系。这就好比是一座桥梁，把看似抽象的方程和具体的根联系到了一起。
明确已知条件与目标
题目中已经告诉我们两根之和为$5$，不过没说清楚是哪两个根。为了方便后续计算，我们不妨设这两个根为$x_1$和$x_2$，即$x_1 + x_2 = 5$，我们的目标是建立关于第三根$x_3$的方程。
利用三次韦达定理建立方程
根据三次韦达定理里的$x_1 + x_2 + x_3 =- rac{b}{a}$，我们把这个式子进行变形，就能得到关于$x_3$的表达式。将$x_1 + x_2 = 5$代入到$x_1 + x_2 + x_3 =- rac{b}{a}$中，就可以得出$5 + x_3 =- rac{b}{a}$，进一步变形为$x_3 =- rac{b}{a}- 5$。
不过这里有个问题，我们并不知道方程$ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0$中的$a$和$b$具体是多少。在实际解题时，通常题目会给定具体的三次方程，这样$a$和$b$的值就明确了。例如，若给定的三次方程是$x^{3}-10x^{2}+... = 0$（这里省略了$c$和$d$相关项，不影响我们分析$x_3$的建立过程），此时$a = 1$，$b = -10$，那么$- rac{b}{a}=- rac{-10}{1}=10$，代入$x_3 =- rac{b}{a}- 5$，就能得到$x_3 = 10 - 5 = 5$。
要是题目没有直接给出具体的三次方程，而是以更一般的形式呈现，我们可以把$- rac{b}{a}$看作一个整体，设为$m$，那么就有$x_3 = m - 5$，这样就建立了第三根$x_3$与系数关系$m$的联系，也就是关于第三根的方程。
可能遇到的问题及解决办法
在实际运用三次韦达定理建立关于第三根的方程时，可能会碰到一些问题。比如，有些同学可能会混淆三次韦达定理和二次韦达定理的公式，导致代入错误。这就需要我们牢记三次韦达定理的准确表达式，并且理解每个公式的含义。
另外，如果题目中没有明确给出三次方程的具体形式，只知道两根之和为$5$，那我们就只能得到$x_3$与系数关系的表达式，没办法求出$x_3$的具体数值。这时候，我们要仔细看题目要求，看是让我们建立方程，还是进一步求出根的值。如果是建立方程，那我们把$x_3$和系数关系表示出来就可以了；如果要求具体数值，就需要更多的条件来确定系数的值。
实际案例分析
假设我们遇到的三次方程是$2x^{3}-20x^{2}+... = 0$（同样省略部分项），已知其中两根之和为$5$。根据三次韦达定理$x_1 + x_2 + x_3 =- rac{b}{a}$，这里$a = 2$，$b = -20$，那么$- rac{b}{a}=- rac{-20}{2}=10$。
又因为$x_1 + x_2 = 5$，将其代入$x_1 + x_2 + x_3 = 10$中，得到$5 + x_3 = 10$，解得$x_3 = 5$。通过这个具体的例子，我们能更直观地看到如何利用三次韦达定理建立关于第三根的方程并求解。
相关要点问答
|问题|答案| | ---- | ---- | |三次韦达定理的公式是什么？|对于一元三次方程$ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0$（$a eq0$），三个根$x_1$、$x_2$、$x_3$满足$x_1 + x_2 + x_3 =- rac{b}{a}$，$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = rac{c}{a}$，$x_1x_2x_3 =- rac{d}{a}$| |只知道两根之和为$5$，不知道具体方程，怎么建立关于第三根的方程？|设两根为$x_1$、$x_2$，$x_1 + x_2 = 5$，根据$x_1 + x_2 + x_3 =- rac{b}{a}$，可得$x_3 =- rac{b}{a}- 5$，把$- rac{b}{a}$看作整体$m$，则$x_3 = m - 5$| |如果知道具体方程，怎么求出第三根具体值？|先确定方程中$a$和$b$的值，计算出$- rac{b}{a}$，再结合$x_1 + x_2 = 5$，代入$x_1 + x_2 + x_3 =- rac{b}{a}$求出$x_3$|
在三次方程求解过程中，若已知两根之和为5，如何利用三次韦达定理建立关于第三根的方程？当我们掌握了三次韦达定理，并且能灵活运用它，就能在面对这类问题时更加从容。通过不断地练习和思考，我们还能进一步挖掘三次方程中根与系数之间更多的奥秘，提升自己的数学解题能力。无论是应对考试，还是培养数学思维，这些都是非常宝贵的收获。