数学几何中的动点问题研究中，如何通过点动轨迹推导特殊四边形（如平行四边形、梯形）的面积变化规律？

问题描述

精选答案

在数学几何里，当研究动点问题时，到底怎样依据点的运动轨迹去推导出像平行四边形、梯形这类特殊四边形的面积变化规律呢？

确定动点轨迹方程

在平面直角坐标系中，先确定动点的坐标表达式。比如，若动点$P$沿着直线$y=kx+b$运动，我们就得到了动点的轨迹方程。对于特殊四边形，设平行四边形$ABCD$，其中一个顶点$A$为定点，$B$为动点，$B$点坐标满足$x=t$，$y=2t+1$（$t$为参数），这就是$B$点的轨迹方程。

分析特殊四边形的性质

• 平行四边形：平行四边形对边平行且相等。假设平行四边形$ABCD$，$AB\parallelCD$，$AD\parallelBC$。若已知$A$、$D$为定点，$B$为动点，当$B$点运动时，$AB$的长度和斜率会发生变化，但$CD$始终与$AB$保持平行且相等。
• 梯形：梯形有一组对边平行。例如梯形$ABCD$，$AD\parallelBC$，当动点$C$运动时，$BC$的长度和位置改变，而$AD$保持不变，且$AD$与$BC$的平行关系始终存在。

建立面积公式

• 平行四边形：面积公式为$S=底\times高$。设平行四边形$ABCD$，以$AB$为底，过$D$作$AB$的垂线，垂足为$E$，高为$DE$。若$AB$的长度随动点$B$的运动而变化，设$AB=l(t)$（$t$为时间或参数），高$h$可根据点的坐标关系求出，那么面积$S(t)=l(t)\timesh$。
• 梯形：面积公式是$S=\frac{(上底+下底)\times高}{2}$。对于梯形$ABCD$，上底$AD=a$（固定值），下底$BC=b(t)$（随动点$C$变化），高为$h(t)$，则面积$S(t)=\frac{(a+b(t))\timesh(t)}{2}$。

推导面积变化规律

根据建立的面积公式，结合动点轨迹方程进行推导。例如对于上述平行四边形，已知$AB$的长度$l(t)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$（$A(x_A,y_A)$为定点，$B(x_B,y_B)$为动点），且$x_B=t$，$y_B=2t+1$，代入面积公式$S(t)=l(t)\timesh$后，通过化简和分析函数$S(t)$的性质，如单调性、最值等，就能得出面积的变化规律。对于梯形也是同样的方法，将下底$b(t)$和高$h(t)$用动点坐标表示出来，代入面积公式进行推导。