如何解决定轴动区间下的二次函数最值问题？需要分哪几种情况讨论？

问题描述

精选答案

如何确定对称轴与动区间的相对位置？

二次函数在定轴动区间下的最值问题需结合对称轴位置与区间端点的动态关系，主要分为以下三种核心情况：

一、对称轴在区间左侧

当二次函数的对称轴$x=-\frac{b}{2a}$位于区间$$的左侧时，函数在闭区间上的最值由端点决定。

• 开口向上：最小值在右端点$x=n$，最大值在左端点$x=m$。
• 开口向下：最大值在右端点$x=n$，最小值在左端点$x=m$。

二、对称轴在区间内部

若对称轴位于区间$$内，顶点处取得极值。

• 开口向上：最小值在顶点$x=-\frac{b}{2a}$，最大值在离顶点较远的端点（需比较$|m-x_0|$和$|n-x_0|$）。
• 开口向下：最大值在顶点，最小值在离顶点较远的端点。

三、对称轴在区间右侧

对称轴位于区间右侧时，最值同样由端点决定。

• 开口向上：最小值在左端点$x=m$，最大值在右端点$x=n$。
• 开口向下：最大值在左端点$x=m$，最小值在右端点$x=n$。

动态区间分析表

情况	对称轴位置	开口方向	最值位置
区间左侧	$x_0<m$	向上	最小值$x=n$，最大值$x=m$
区间内部	$m\leqx_0\leqn$	向上	最小值$x=x_0$，最大值较远端点
区间右侧	$x_0>n$	向上	最小值$x=m$，最大值$x=n$

关键步骤：

1. 计算对称轴$x_0=-\frac{b}{2a}$。
2. 比较$x_0$与区间端点$m,n$的大小关系。
3. 根据开口方向（$a>0$或$a<0$）确定最值位置。

示例：
函数$f(x)=x^2-4x+3$（开口向上，对称轴$x=2$），区间为$$。

• 当$t+2<2$（即$t<0$）时，最小值在$x=t+2$，最大值在$x=t$。
• 当$t\leq2\leqt+2$（即$0\leqt\leq2$）时，最小值在$x=2$，最大值在$x=t$或$x=t+2$（需计算具体值）。
• 当$t>2$时，最小值在$x=t$，最大值在$x=t+2$。

通过上述分类，可系统解决定轴动区间下的二次函数最值问题。