红豆姐姐的育儿日常
我将从问题的含义出发，介绍解决PIPI的最长上升子序列问题中确定严格递增序列最大长度的具体方法，包括动态规划和贪心算法，并融入个人见解帮助理解。
PIPI的最长上升子序列问题中，如何确定严格递增序列的最大长度？
PIPI的最长上升子序列问题中，要确定严格递增序列的最大长度，是不是需要先明确什么是严格递增序列呢？严格递增序列就是指序列中的每个元素都比前一个元素大，比如1、3、5这样的序列就是严格递增的，而1、3、3就不是，因为后面的3没有比前面的3大。
明确问题核心
在解决这个问题之前，我们得先清楚问题的核心是什么。其实就是从给定的一个序列中，找出一个子序列，这个子序列是严格递增的，并且它的长度是所有可能的严格递增子序列中最长的，我们要做的就是找到这个最大长度。
比如在实际生活中，我们记录了一个人每天的跑步距离，想知道在这一段时间内，最长的连续几天跑步距离严格增加的天数，这其实就是一个最长上升子序列问题的应用场景。
动态规划方法
动态规划是解决这个问题的一种常用方法，具体步骤如下： - 定义状态：设dp[i]表示以序列中第i个元素结尾的最长严格递增子序列的长度。 - 初始化：对于每个元素来说，它自身可以构成一个长度为1的严格递增子序列，所以dp数组的初始值都为1。 - 状态转移：对于每个i（从1到序列长度-1），我们都要查看i之前的所有元素j（从0到i-1）。如果序列中第i个元素大于第j个元素，那么dp[i]就可能是dp[j] + 1，我们要取所有可能情况中的最大值，即dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。 - 结果：遍历整个dp数组，其中的最大值就是我们要找的严格递增序列的最大长度。
举个例子，假设有序列[3, 1, 2, 4]。按照上面的步骤，dp[0] = 1；对于i=1，元素1比3小，所以dp[1]还是1；i=2时，元素2比1大，所以dp[2] = dp[1] + 1 = 2；i=3时，元素4比3、1、2都大，dp[3] = max(dp[0]+1, dp[1]+1, dp[2]+1) = 3，所以最大长度就是3。
贪心算法结合二分查找
除了动态规划，还可以用贪心算法结合二分查找来解决，这种方法效率更高，步骤如下： - 维护一个数组tails，其中tails[i]表示长度为i+1的严格递增子序列的最后一个元素的最小值。 - 遍历原序列中的每个元素x： - 如果x大于tails数组的最后一个元素，就把x添加到tails数组的末尾，此时最长子序列的长度增加1。 - 否则，在tails数组中找到第一个大于等于x的元素，并用x替换它。这一步可以通过二分查找来高效完成。 - 结果：tails数组的长度就是严格递增序列的最大长度。
还是用上面的序列[3, 1, 2, 4]来举例。初始tails为空；第一个元素3，tails变为[3]；第二个元素1，比3小，找到第一个大于等于1的元素是3，替换后tails为[1]；第三个元素2，比1大，添加到末尾，tails变为[1, 2]；第四个元素4，比2大，添加后tails变为[1, 2, 4]，长度为3，即最大长度是3。
两种方法的对比
|方法|时间复杂度|空间复杂度|适用场景| | ---- | ---- | ---- | ---- | |动态规划|O(n2)，其中n是序列的长度|O(n)|序列长度不是特别大的情况| |贪心算法结合二分查找|O(n log n)|O(n)|序列长度较大，对效率要求较高的情况|
我是历史上今天的读者www.todayonhistory.com，从实际应用来看，当处理的数据量比较小时，两种方法的差异不太明显，但如果是处理像海量用户行为数据这类大规模序列时，贪心算法结合二分查找的优势就会凸显出来，能更快地得到结果。而且，在理解这两种方法的过程中，我们会发现它们都是通过对序列中的元素进行逐步分析和处理，来找到最优解，这也体现了算法解决问题的基本思路。
以上两种方法能有效解决该问题，你可以根据实际序列长度选择合适的方法。若你对某个方法的细节还有疑问，或者有其他相关问题，欢迎随时告诉我。